3. RÁMEC PROJEKTU
3.1. POSLÁNÍ PROJEKTU
3.1.1. Definice účelu projektu
Obecným posláním projektu je vznik významné vědecké skupiny v oblasti
matematických vlastností modelů mechaniky a termodynamiky kontinua, budované
formou intenzivní spolupráce pěti významných výzkumných týmů tří pražských
pracovišť a jejich cílenou interakcí se špičkovými odborníky v zahraničí.
Mechanika a termodynamika kontinua, neboli fyzika kontinua, popisuje chování
materiálů od jednosložkových plynů, vody a málo deformovaných pružných látek
přes směsi plynů a kapalin, granulované látky jako jsou laviny či potraviny až
po materiály z pohledu rheologického nesmírně komplikované, přesto extrémně
důležité jako jsou asfalt či biomateriály v lidském těle. Již jen tento letmý
výčet ukazuje na široké spektrum oblastí, kde se modely fyziky kontinua
využívají k porozumění komplikovaných procesů a k jejich předvídání.
Meteorologie, biomedicína, astrofyzika, fyzika plazmatu, potravinový průmysl -
to je jen pár příkladů. Základem matematického popisu jsou takzvané bilanční
rovnice pro hmotu, hybnost, moment hybnosti, energii a entropii. Tyto bilanční
rovnice, popsané systémem evolučních parciálních diferenciálních rovnic,
obsahují veličiny jako jsou tensor napětí, tepelný tok, vnitřní energie a
entropie, jejichž specifický tvar či rovnice charakterizuje specifický materiál.
Protože často ani není možné provést experiment, který by vystihl daný jev, je
numerické zpracování modelu, tj. navržení vhodného numerického schématu,
algoritmizace a následné počítačové výsledky a jejich porovnání s původním
zaměrem, proč a jak byl model navržen, jediná možná cesta k pochopení daného
procesu. Dobře navrhnout numerické schéma však vyžaduje hlubokou znalost
fyzikální stránek modelu a stejně tak znalost analytických vlastností modelu či
modelů jemu blízkých. Jedním z hlavních cílů projektu je tak rigorózní
matematický a numerický rozbor úplných systémů popisujících proudění a deformace
stlačitelných plynů či nestlačitelných kapalin nebo pružných a vazko-pružných
látek. Smyslem centra je soustředit odborníky (tří institucí, avšak pěti
pracovišť), jejichž výzkum je vztažen k nosným otázkám centra s cílem získat
kvalitativně lepší porozumění procesů popisovaných modely.
Cílem je vytvořit Centrum v dosahu pěti let schopné interagovat s podobnými
celky či individualitami u nás i v zahraničí v aplikovaných oblastech. Role
Centra bude přinejmenším dvojí: jednak v roli poradce, jaké metody zvolit k
řešení tématu, ale i jako příjemce nových podnětů k dalšímu vývoji.
Centrum se stane přirozeným partnerem pro spolupráci s podobnými evropskými i
zaoceánskými vědeckými centry či individualitami širokého záběru. Tak by tomu
například bylo při zapojení do projektu HYKEII v rámci Marie Curie Actions,
Marie Curie Research Training Networks (RTN) (v návrhu právě předloženého
pokračování je zapojeno 16 členů řešitelského týmu).
Centrum Jindřicha Nečase se stane zázemím pro dlouhodobé pracovní post-doktorandské
pobyty a přednáškové pobyty předních světových expertů (měsíc až semestr) se
záměrem podpořit u nás výzkum v oblastech doposud z důvodů kapacitních
opomíjených.
Dalším cílem je numerická analýza zaměřená na vývoj nových a zlepšení
existujících algoritmů pro výše uvedenou třídu modelů a počítačové simulace pro
porovnání matematických výsledků s původním modelem.
Centrum sdružuje vědecké pracovníky, kteří jsou mezinárodně uznávanými odborníky
ve svých oblastech výzkumu a tyto velice úzce souvisí s vědeckým programem
Centra. Současná komunita však nepokrývá všechna důležitá témata. Tato
skutečnost pramení z vysokého stupně specializace charakteristického pro
současný vědecký výzkum. Úkolem sdružení jednotlivců do týmu Centra je vytvořit
účinný nástroj k tomu, aby se tyto lakuny v české vědě zaplňovaly. Za tímto
účelem budou zváni do Prahy špičkoví odborníci, aby formou semestrálních kursů,
každodenní interakcí s doktorandy, diplomanty a členy Centra, nejen rozšířili
znalosti v mnoha speciálních partiích, ale také inicializovali výzkum našich
vědců v těchto sférách.
3.1.2. Očekávané přínosy projektu
Kromě prohloubení již existující spolupráce mezi uchazeči v rámci vedení
diplomových prací a výchovy doktorandů, je jedním z očekávaných hlavních přínosů
Centra vytvoření užší spolupráce mezi skupinami zabývajícími se matematickou
analýzou, tj. čistě teoretickými úlohami, a aplikovanými matematiky zastoupenými
hlavně specialisty v oblasti tvorby numerických algoritmů a následných výpočtů,
jež vyústí ve společné publikace.
Jako příklad očekávaného výstupu popišme následující situaci. Navrhovaný vědecký
tým se specializuje v oblasti proudění kapalin i plynů a patří k světové špičce
například v oblastech matematické analýzy a numerických simulací tzv. úplného
Navierova-Stokesova-Fourierova systému diferenciálních rovnic, popisujících
teplotně závislá proudění stlačitelných jednosložkových plynů. Nutno říci, že
navzdory výsledkům je v samotné tématice nepřeberné množství fundamentálních
problémů. Hlavní vize projektu v této oblasti jsou tyto:
(1) Podporováni dosaženými výsledky členů centra, lze očekávat, že výsledky
dosažené formou výpočtu přispějí k tvorbě teoretických hypotéz o chování systému
zatímco čistě teoretické (existenční) výsledky dají popud k numerickým simulacím.
(2) Navierův-Stokesův-Fourierův systém je základním modelovým blokem v teorii
vícesložkových materálů, v modelech popisujících interakce pevné a tekuté fáze,
v prouděních kapalin a plynů pod vlivem elektro-magnetických polí, atd. Tyto
modely jsou potřebné ve fyzikálních, biologických, inženýrských a průmyslových
aplikacích. Přínosem projektu bude tvorba matematických teorií v těchto
oblastech.
(3) Hyperbolické zákony zachování lze v mnoha případech obdržet jako jistou
limitu mnohem komplexnějšího modelu, například již zmíněného
Navierova-Stokesova-Fourierova systému. Z tohoto hlediska lze hyperbolické
zákony zachování možno chápat jako ideální (z praktického pohledu nedosažitelný)
objekt, který v sobě nese veškeré těžkosti původního mnohem komplexnějšího
systému. Naopak, přirozenou otázkou je zkoumání těch vlastností, které se
přechodem od disipativního systému k limitnímu zachovají. Získání co
nejúplnějších znalostí a informací o těchto limitních mechanismech a pokrok v
porozumění těchto limitních mechanismů by pak představoval významný přínos
projektu.
(4) Rovněž je možné chápat Navierův-Stokesův-Fourierův systém jakožto limitu
kinetických rovnic a dalších diskrétních (atomistických) systémů. I zde je možno
očekávat, že některé rysy těchto matematicky zcela odlišných struktur mohou být
zachovány i pro jejich limitní stavy. Přínosem projektu bude porozumění těmto
mechanismům.
Výše uvedené příklady dokumentují nutnost a zaroveň i podstatnou účinnost
spolupráce odborniků v oblasti kinetických rovnic, hyperbolických systémů a
základních rovnic mechaniky kontinua jako je Navierův-Stokesův systém. Vytvoření
důstojných podmínek pro takovou spolupráci je jedním z očekávaných přínosů
navrhovaného projektu.
Totéž se týká dalších oblastí řešených v rámci centra, viz bod 3.3.
3.1.3. Způsob ověření dosažených přínosů
Publikace, příspěvky do publikací encyklopedického charakteru jako je např.
Handbook of Differential Equations, případně monografie.
Uskutečněné pobyty zahraničních expertů v centru, zejména dlouhodobé pobyty a
přednášková činnost v rámci minikurzů, organizace kolokvií, konferencí a
seminářů.
Obsazení doktorandských míst kvalitními studenty vybranými na základě konkursu.
Vytvoření diplomových a doktorských prací vysoké úrovně a následná publikace
těchto výsledků.
Prezentace dosažených výsledků v rámci zvaných přednášek na mezinárodních
konferencích, vystoupeních na odborných seminářích a v rámci minikurzů na
zahraničních pracovištích.
3.1.4. Kritické předpoklady dosažení účelu projeku
Při tomto typu výzkumu se zdají být kritickými především nepředvídatelné jevy jako jsou přírodní katastrofy, epidemie, energetická krize a následné omezení zahraničních cest zejména do zámoří, zhroucení sítě internet.