3. RÁMEC PROJEKTU

3.1. POSLÁNÍ PROJEKTU

3.1.1. Definice účelu projektu

Obecným posláním projektu je vznik významné vědecké skupiny v oblasti matematických vlastností modelů mechaniky a termodynamiky kontinua, budované formou intenzivní spolupráce pěti významných výzkumných týmů tří pražských pracovišť a jejich cílenou interakcí se špičkovými odborníky v zahraničí.

Mechanika a termodynamika kontinua, neboli fyzika kontinua, popisuje chování materiálů od jednosložkových plynů, vody a málo deformovaných pružných látek přes směsi plynů a kapalin, granulované látky jako jsou laviny či potraviny až po materiály z pohledu rheologického nesmírně komplikované, přesto extrémně důležité jako jsou asfalt či biomateriály v lidském těle. Již jen tento letmý výčet ukazuje na široké spektrum oblastí, kde se modely fyziky kontinua využívají k porozumění komplikovaných procesů a k jejich předvídání. Meteorologie, biomedicína, astrofyzika, fyzika plazmatu, potravinový průmysl - to je jen pár příkladů. Základem matematického popisu jsou takzvané bilanční rovnice pro hmotu, hybnost, moment hybnosti, energii a entropii. Tyto bilanční rovnice, popsané systémem evolučních parciálních diferenciálních rovnic, obsahují veličiny jako jsou tensor napětí, tepelný tok, vnitřní energie a entropie, jejichž specifický tvar či rovnice charakterizuje specifický materiál. Protože často ani není možné provést experiment, který by vystihl daný jev, je numerické zpracování modelu, tj. navržení vhodného numerického schématu, algoritmizace a následné počítačové výsledky a jejich porovnání s původním zaměrem, proč a jak byl model navržen, jediná možná cesta k pochopení daného procesu. Dobře navrhnout numerické schéma však vyžaduje hlubokou znalost fyzikální stránek modelu a stejně tak znalost analytických vlastností modelu či modelů jemu blízkých. Jedním z hlavních cílů projektu je tak rigorózní matematický a numerický rozbor úplných systémů popisujících proudění a deformace stlačitelných plynů či nestlačitelných kapalin nebo pružných a vazko-pružných látek. Smyslem centra je soustředit odborníky (tří institucí, avšak pěti pracovišť), jejichž výzkum je vztažen k nosným otázkám centra s cílem získat kvalitativně lepší porozumění procesů popisovaných modely.

Cílem je vytvořit Centrum v dosahu pěti let schopné interagovat s podobnými celky či individualitami u nás i v zahraničí v aplikovaných oblastech. Role Centra bude přinejmenším dvojí: jednak v roli poradce, jaké metody zvolit k řešení tématu, ale i jako příjemce nových podnětů k dalšímu vývoji.

Centrum se stane přirozeným partnerem pro spolupráci s podobnými evropskými i zaoceánskými vědeckými centry či individualitami širokého záběru. Tak by tomu například bylo při zapojení do projektu HYKEII v rámci Marie Curie Actions, Marie Curie Research Training Networks (RTN) (v návrhu právě předloženého pokračování je zapojeno 16 členů řešitelského týmu).

Centrum Jindřicha Nečase se stane zázemím pro dlouhodobé pracovní post-doktorandské pobyty a přednáškové pobyty předních světových expertů (měsíc až semestr) se záměrem podpořit u nás výzkum v oblastech doposud z důvodů kapacitních opomíjených.

Dalším cílem je numerická analýza zaměřená na vývoj nových a zlepšení existujících algoritmů pro výše uvedenou třídu modelů a počítačové simulace pro porovnání matematických výsledků s původním modelem.

Centrum sdružuje vědecké pracovníky, kteří jsou mezinárodně uznávanými odborníky ve svých oblastech výzkumu a tyto velice úzce souvisí s vědeckým programem Centra. Současná komunita však nepokrývá všechna důležitá témata. Tato skutečnost pramení z vysokého stupně specializace charakteristického pro současný vědecký výzkum. Úkolem sdružení jednotlivců do týmu Centra je vytvořit účinný nástroj k tomu, aby se tyto lakuny v české vědě zaplňovaly. Za tímto účelem budou zváni do Prahy špičkoví odborníci, aby formou semestrálních kursů, každodenní interakcí s doktorandy, diplomanty a členy Centra, nejen rozšířili znalosti v mnoha speciálních partiích, ale také inicializovali výzkum našich vědců v těchto sférách.
 

3.1.2. Očekávané přínosy projektu

Kromě prohloubení již existující spolupráce mezi uchazeči v rámci vedení diplomových prací a výchovy doktorandů, je jedním z očekávaných hlavních přínosů Centra vytvoření užší spolupráce mezi skupinami zabývajícími se matematickou analýzou, tj. čistě teoretickými úlohami, a aplikovanými matematiky zastoupenými hlavně specialisty v oblasti tvorby numerických algoritmů a následných výpočtů, jež vyústí ve společné publikace.

Jako příklad očekávaného výstupu popišme následující situaci. Navrhovaný vědecký tým se specializuje v oblasti proudění kapalin i plynů a patří k světové špičce například v oblastech matematické analýzy a numerických simulací tzv. úplného Navierova-Stokesova-Fourierova systému diferenciálních rovnic, popisujících teplotně závislá proudění stlačitelných jednosložkových plynů. Nutno říci, že navzdory výsledkům je v samotné tématice nepřeberné množství fundamentálních problémů. Hlavní vize projektu v této oblasti jsou tyto:
(1) Podporováni dosaženými výsledky členů centra, lze očekávat, že výsledky dosažené formou výpočtu přispějí k tvorbě teoretických hypotéz o chování systému zatímco čistě teoretické (existenční) výsledky dají popud k numerickým simulacím.
(2) Navierův-Stokesův-Fourierův systém je základním modelovým blokem v teorii vícesložkových materálů, v modelech popisujících interakce pevné a tekuté fáze, v prouděních kapalin a plynů pod vlivem elektro-magnetických polí, atd. Tyto modely jsou potřebné ve fyzikálních, biologických, inženýrských a průmyslových aplikacích. Přínosem projektu bude tvorba matematických teorií v těchto oblastech.
(3) Hyperbolické zákony zachování lze v mnoha případech obdržet jako jistou limitu mnohem komplexnějšího modelu, například již zmíněného Navierova-Stokesova-Fourierova systému. Z tohoto hlediska lze hyperbolické zákony zachování možno chápat jako ideální (z praktického pohledu nedosažitelný) objekt, který v sobě nese veškeré těžkosti původního mnohem komplexnějšího systému. Naopak, přirozenou otázkou je zkoumání těch vlastností, které se přechodem od disipativního systému k limitnímu zachovají. Získání co nejúplnějších znalostí a informací o těchto limitních mechanismech a pokrok v porozumění těchto limitních mechanismů by pak představoval významný přínos projektu.
(4) Rovněž je možné chápat Navierův-Stokesův-Fourierův systém jakožto limitu kinetických rovnic a dalších diskrétních (atomistických) systémů. I zde je možno očekávat, že některé rysy těchto matematicky zcela odlišných struktur mohou být zachovány i pro jejich limitní stavy. Přínosem projektu bude porozumění těmto mechanismům.

Výše uvedené příklady dokumentují nutnost a zaroveň i podstatnou účinnost spolupráce odborniků v oblasti kinetických rovnic, hyperbolických systémů a základních rovnic mechaniky kontinua jako je Navierův-Stokesův systém. Vytvoření důstojných podmínek pro takovou spolupráci je jedním z očekávaných přínosů navrhovaného projektu.

Totéž se týká dalších oblastí řešených v rámci centra, viz bod 3.3.

 

3.1.3. Způsob ověření dosažených přínosů

Publikace, příspěvky do publikací encyklopedického charakteru jako je např. Handbook of Differential Equations, případně monografie.

Uskutečněné pobyty zahraničních expertů v centru, zejména dlouhodobé pobyty a přednášková činnost v rámci minikurzů, organizace kolokvií, konferencí a seminářů.

Obsazení doktorandských míst kvalitními studenty vybranými na základě konkursu. Vytvoření diplomových a doktorských prací vysoké úrovně a následná publikace těchto výsledků.

Prezentace dosažených výsledků v rámci zvaných přednášek na mezinárodních konferencích, vystoupeních na odborných seminářích a v rámci minikurzů na zahraničních pracovištích.
 

3.1.4. Kritické předpoklady dosažení účelu projeku

Při tomto typu výzkumu se zdají být kritickými především nepředvídatelné jevy jako jsou přírodní katastrofy, epidemie, energetická krize a následné omezení zahraničních cest zejména do zámoří, zhroucení sítě internet.